2.

b, \(-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}\left(1\right)\\\dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4\left(x^2-x+1\right)>2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2+8m-48< 0\Leftrightarrow-12< m< 4\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-6\left(x^2-x+1\right)< 2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2-12m-28< 0\Leftrightarrow-2< x< 14\)

Vậy \(m\in\left(-2;4\right)\)

2.

a, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1>0\) có nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=m^2+2m+1-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\Delta=-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< \dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{3}{7}\)

a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2mx+m^2-m+3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2m+m^2-m+3\ne0\\\Delta'=m^2-\left(m^2-m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m+4\ne0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>3\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(m>3\)

b.

Phương trình có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi: \(mx^2+3x+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\9m+9+m\ne0\\\Delta=9-4m^2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-\dfrac{9}{10}\\-\dfrac{3}{2}< m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

a. 5x2 + 2mx – 2m +15 =0 (1)

Ta có: Δ'=m2 – 5.(-2m +15) = m2 +10m -75

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

Δ'= 0 ⇔ m2 + 10m – 75 = 0

Δ'm = 52 -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0

√(Δ'm) = √100 =10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép

b. mx2 – 4(m -1)x -8 =0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m≠ 0 và Δ'=0

Ta có: Δ'=[-2(m-1)]2 – m(-8)=4(m2 -2m +1) +8m

=4m2– 8m +4 +8m = 4m2 +4

Vì 4m2 +4 luôn luôn lớn hơn 0 nên Δ' không thể bằng 0 .Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép

câu a 

Gọi x₀ là nghiệm chung của PT(1) và (2)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2_0+\left(3m-1\right)x_0-3=0\left(\times3\right)\\6.x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2_0+3\left(3m-1\right)x_0-9=0\left(1\right)\\6x^2_0-\left(2m-1\right)x_0-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)  Lấy (1)-(2) ,ta được 

PT\(\Leftrightarrow3\left(3m-1\right)-9+\left(2m-1\right)+1\)=0

     \(\Leftrightarrow9m-3-9+2m-1+1=0\Leftrightarrow11m-12=0\)

      \(\Leftrightarrow m=\dfrac{12}{11}\)

a: \(\text{Δ}=\left(-5\right)^2-4\left(-2m+5\right)\)

=25+8m-20=8m+5

Để phương trình có nghiệm kép thì 8m+5=0

=>m=-5/8

=>x^2-5x+25/4=0

=>x=5/2

b: \(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-2m+3\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m^2+8m-12=4m-11\)

Để phương trình có nghiệm kép thì 4m-11=0

=>m=11/4

=>x^2-9/2x+81/16=0

=>x=9/4

c: TH1: m=-3

=>-(2*(-3)+1)x+(-3-1)=0

=>-(-5x)-4=0

=>5x-4=0

=>x=4/5(nhận)

TH2: m<>-3

\(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4\left(m+3\right)\left(m-1\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4\left(m^2+2m-3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-8m+12=-4m+13\)

Để phương trình có nghiệm kép thì -4m+13=0

=>m=13/4

=>25/4x^2-15/2x+9/4=0

=>(5/2x-3/2)^2=0

=>x=3/2:5/2=3/2*2/5=3/5

a) m \(\ne\)0; \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m=0\Leftrightarrow m^2-4m+1=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=3\)

   =>m=2+ \(\sqrt{3}\) hoặc m=2 -\(\sqrt{3}\) (TM)

b) \(\Delta=\left(m+1\right)^2-4.3.4=0\)=>m =-1 +4\(\sqrt{3}\) hoặc m = -1 - 4\(\sqrt{3}\)

c.

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

2.

Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

b.

\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)

\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)

2.

Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:

\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)